お付合いのある寺院に頼むことはできますか。

もちろんできますし、お付合いのある寺院などがいるのであれば葬儀を依頼するのは最善です。
また、家族送だからだめだといわれる寺院はまずいません。
弊社ではどちらにも寺院のお付合いのない場合にのみ、ご紹介をさせてもらっています。